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Une pyramide de boules de souris

jeudi 31 août 2006, par Paul Courbis

Il y a quelques années, lorsque j’avais entre les mains des souris HS, j’ai commencé à conserver les boules qui, le plus souvent, sont de lourdes billes d’acier gainées de caoutchouc... Ainsi était né le challenge de la plus grosse pyramide de boules de souris !

Voici à quoi ressemblait la pyramide lorsqu’elle ne comportait que 9 étages :



Un peu plus tard, 16 étages [1] avec sur le côté, un essai de tétraèdre (9 étages)......

 

Et maintenant :

 

Nombre de boules à la base : 21 sur 21 soient 441
Nombre total de boules : 3311
Poids : environ 80kg

Un calcul simple montre que si D est le diamètre d’une boule de souris et n le nombre de boules d’un côté de la base (21 sur la dernière photo), la largeur de la pyramide est n.D et sa hauteur est (1 + (n-1)/√2).D. Avec des boules de 22mm sur une base de 21 (la moitié de 42 pour les connaisseurs), cela fait donc une base de 462mm pour une hauteur de 333mm.

Le nombre total de boule est quant à lui égal à n.(n+1).(2n+1) / 6 (soient 3311 boules pour une base de 21 de largeur).

Démonstrations

Hauteur de la pyramide

Il faut d’abord remarquer que la hauteur totale de la pyramide est égale à la hauteur calculée entre le centre des boules du bas et le centre de la boule du haut, à laquelle on ajoute deux demi diamètres (distance entre le support et le centre du bas et distance entre le centre de la boule du haut et le sommet de cette boule).

On est donc ramené à calculer la distance entre le centre d’un rang avec le rang suivant et à multiplier par le nombre d’intervalles.

Considérons donc 4 boules de diamètre D disposées en carré sur lesquelles est posée une cinquième boule de même diamètre.

Dans un repère x,y,z centré sur le centre d’une des 4 premières boules, les coordonnées de la cinquième sont de manière évidente :

  • x=D/2
  • y=D/2
  • z=h qui est l’inconnue à trouver

La distance entre les centres de cette boule et le centre de la boule en (0,0,0) est D et on a donc :
(x-0)^2 + (y-0)^2 + (h-0)^2 = D^2
soit D^2/4+D^2/4+h^2 = D^2
soit h^2 = D^2/2
d’où (h étant positif) h = D / √2

Si la base est de n billes, il y aura n étages, donc (n-1) intervalles de cette hauteur, auxquels il faut ajouter, comme expliqué, deux demi-diamètres. La hauteur totale de la pyramide est donc :

H = (1 + (n-1)/√2).D

Et si les boules de base sont espacées ?

Si il existe un espace d entre les boules (d inférieur à D), alors, avec un calcul similaire, on trouve facilement que l’espacement entre deux étages de la pyramide est :

h = (D-d)/√2

La hauteur totale de la pyramide est alors :

H = D + (n-1).(D-d)/√2

Quant à la largeur elle est de :

L = n.D + (n-1).d

Nombre total de boules

De manière évidente, le nombre total de boules est la somme des carrés des n premiers entiers :
N = 1^2 + 2^2 + ... + n^2

Pour démontrer la formule N(n) = n.(n+1).(2n+1) / 6, il faut faire un raisonnement par récurrence.

Cette formule est vraie pour n=1 : N(1) = 1.2.3/6 = 1

Supposons que la formule soit vraie pour n.

On sait donc que N(n+1) = N(n) + (n+1)^2

Comme N(n+1) = N(n) + (n+1)^2

Alors N(n+1) = n.(n+1).(2n+1) / 6 + (n+1)^2
= (n.(n+1).(2n+1) + 6.(n+1)^2) / 6
= (n.(n+1).(2n+1) +6.n^2 + 12.n + 6) / 6
= (n+1).(2n^2 + n + 6.n + 6) / 6
= (n+1).(n+2).(2.n+3) / 6
= (n+1).((n+1)+1).(2.(n+1)+1) / 6
=> On retrouve bien la formule

Celle si est donc vraie pour n=1 et si elle est vraie pour n, alors est elle vraie pour (n+1). Cette formule est donc valide pour toute valeur de n (nombre entier positif).

[1] Le dessin représente l’œil de « rat », normal pour une pyramide de boules de souris

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